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√５−１：２：２√２

タナカ 2011/12/15 18:22

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ここで２つの図形に関する性質を，５つほど箇条書きで示そうと思います．題名である√５−１：２：２√２に近い図形を図Ａ，遠い図形を図Ｂとします．

・図Ａおよび図Ｂの短辺と長辺の比は√２：１＋√５（白銀比×黄金比）
・図Ａで最大の黄金長方形と２番目に大きい黄金長方形との短辺および長辺の比は１＋√２：１（第２貴金属比）
・２番目に大きい黄金長方形と３番目に大きい黄金長方形との短辺および長辺の比は√２：１（白銀比）
・図Ｂで最大の白銀長方形の短辺と２番目に大きい白銀長方形の長辺の比は１＋√５：２（黄金比）
・最大の白銀長方形と２番目に大きい白銀長方形との短辺および長辺の比は１＋√５：√２（白銀比×黄金比）

√２：１＋√５の長方形には，なにか面白い性質が秘められているのではないか，そんな直感から試行錯誤を重ねて，まず図Ｂを，そして図Ａを見つけてしまいました．それほど難しい数学の知識を使う必要がなかったので，ひらめくまでが大変で時間がかかりましたが，ひらめいてから完成するまでは簡単だった気がします．ただ果たして発見と呼べるほどの図形なのか不安で，私だけでは判断しづらかったので，投稿しました．もしも図Ａや図Ｂについて感じた意見がありましたら，皆さんに書き込んでもらえるととってもありがたいです！

ひょっとしたらコロンブスの卵なのでは？という思いが私の胸にはあります．第１の項目に挙げている性質ですが，この２つの構造をあわせもっているという点では，√２：１＋√５の長方形に特有の性質なのではないかと思います．図Ａでは大きさの異なる黄金長方形が２つ生まれ，図Ｂでは大きさの同じ白銀長方形が２つ生まれ，それが際限なく繰り返される．この現象がまったく同じ形の長方形で起こるということ，私がコロンブスの卵ではと考える要点はそこにあります．それから図Ｂの白銀長方形を大きさの順にたどっていくと，らせんが形づくられるのですが，最大のらせんと第２のらせんが２つずつ，第３のらせんが４つ，第４のらせんが８つと増えていく点も興味深いです．このらせんが数学的にどれほどの価値を持つのかが，図Ｂの評価をも大きく左右するのではないかと考えます．ぜひ幾何学に詳しい人からの意見をうかがいたいです．